Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，前n項的和S_n＝
⑴ 求{a_n}的通項公式；
⑵ 設等比數列{b_n}的首項為b，公比為2，前n項的和為T_n.若對任意n∈N^*，S_n≤T_n
均成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

(1) a_n＝2n－1(n∈N^*)．(2) b≥.

試題分析： (1) a₁＝，解得a₁＝1.
當n≥2時，由a_n＝S_n－S_n－1＝，      -2
得(a_n－a_n－1－2)(a_n＋a_n－1)＝0.
又因為a_n>0，所以a_n－a_n－1＝2.
因此{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
即a_n＝2n－1(n∈N^*)．            6
(2) 因為S_n＝n²，T_n＝b(2ⁿ－1)，
所以S_n≤T_n對任意n∈N^*恒成立，
當且僅當≤對任意n∈N^*均成立．
令C_n＝，因為C_n＋1－C_n＝－＝，
所以C₁>C₂，且當n≥2時，C_n<C_n＋1.
因此≤C₂＝，即b≥.
點評：中檔題，涉及數列的不等式證明問題，往往需要先求和、再證明。本題（2）通過研究數列的“單調性”，利用“放縮法”，達到證明目的。