Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E :的焦距為4，兩條準線間的距離為8，A，B分別為橢圓E的左、右頂點.

(1)求橢圓E 的標準方程；

(2)已知圖中四邊形ABCD 是矩形，且BC＝4，點M，N分別在邊BC，CD上，AM與BN相交于第一象限內的點P .①若M，N分別是BC，CD的中點，證明:點P在橢圓E上；②若點P在橢圓E上，證明:為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①證明見解析；②證明見解析

【解析】

（1）由求得,進而求得橢圓的方程；

（2）①分別求得,坐標,再求得直線與直線方程,即可求得交點坐標,進而得證；②分別設直線的方程為,直線的方程為,求得點,坐標,則,利用斜率公式求證即可

（1）由題,,則,所以,

所以橢圓的標準方程為：

（2）證明：①由（1）可得,,

因為,且四邊形是矩形,

所以,,

因為點分別是的中點,

所以,,

則直線為：,即,

直線為：,即,

所以,解得,即

因為,

所以點在橢圓上

②設直線的方程為,

令,得,

設直線的方程為,

令,得,

,

設,則,

,