Question

【題目】如果存在常數k使得無窮數列滿足恒成立，則稱為數列.

（1）若數列是數列，，，求；

（2）若等差數列是數列，求數列的通項公式；

（3）是否存在數列，使得，，，…是等比數列？若存在，請求出所有滿足條件的數列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）存在；滿足條件的數列有無窮多個，其通項公式為.

【解析】

（1）根據數列的定義，得，，可求；

（2）根據數列的定義，得，分和兩種情況討論. 當，.當時，由是等差數列，對賦值，求出和公差，即求；

（3）假設存在滿足條件的數列，設等比數列，，，…的公比為q.則有，，可得q＝1，故當時，.當時，不妨設，且i為奇數，

由，可得.

即滿足條件的數列有無窮多個，其通項公式為.

（1）由數列是數列，得，，可得；

（2）由是數列知恒成立，取m＝1得恒成立，

當，時滿足題意，此時，

當時，由可得，取m＝n＝2得，

設公差為d，則解得或者，

綜上，或或，經檢驗均合題意.

（3）假設存在滿足條件的數列，

不妨設該等比數列，，，…的公比為q，

則有，

可得①

，

可得②

綜上①②可得q＝1，

故，代入得，

則當時，，

又，

當時，不妨設，且i為奇數，

由，

而，，，.

綜上，滿足條件的數列有無窮多個，其通項公式為.