Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）證明當時，關于的不等式恒成立；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）令，求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的最大值，從而證出結論即可；

解析：

（1），

由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，

所以f（x）的單調遞減區間為（1，+∞），函數f（x）的單增區間為（0，1）．

（2）令，

所以，

因為a≥2，所以，

令g'（x）=0，得，所以當，當時，g'（x）＜0，

因此函數g（x）在是增函數，在是減函數，

故函數g（x）的最大值為，

令，因為，又因為h（a）在a∈（0，+∞）是減函數，

所以當a≥2時，h（a）＜0，即對于任意正數x總有g（x）＜0，

所以關于x的不等式恒成立．