【題目】 已知拋物線
的頂點為坐標原點
，焦點
在
軸的正半軸上，過點的直線
與拋物線相交于
，
兩點，且滿足
（1）求拋物線的方程；
（2）若
是拋物線上的動點，點
在
軸上，圓
內切于
，求面積的最小值.
【答案】（1）
(2) 8
【解析】
（1）設直線
的方程為
由直線方程與拋物線方程聯立，消元后可
，代入
可求得
，得拋物線方程；
（2）設
易知點M，N的橫坐標與P的橫坐標均不相同.不妨設m
n. 寫出直線PM的方程，由直線PM與圓相切得一關系式，同理PN與圓相切又得一關系式，兩者比較說明
是一個方程的根，由韋達定理得
，從而可表示并求出
（用
表示），而
面積為
，表示為
的函數，由基本不等式可求得最小值．
（1）由題意，設拋物線C的方程為
，則焦點F的坐標為
.
設直線的方程為
聯立方程得
，消去
得
所以
因為
所以
故拋物線的方程為
.
(2)設易知點M，N的橫坐標與P的橫坐標均不相同.
不妨設mn.
易得直線PM的方程為
化簡得
，
又圓心（0,1）到直線PM的距離為1，所以
所以
不難發現
，故上式可化為
同理可得
所以m，n可以看作是
的兩個實數根，則
所以
因為
是拋物線C上的點，所以
則
又，所以
從而
當且僅當
時取得等號，此時
故△PMN面積的最小值為8.
口算心算速算應用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，我海監船在
島海域例行維權巡航，某時刻航行至
處，此時測得其北偏東
方向與它相距
海里的
處有一外國船只，且島位于海監船正東
海里處．
（1）求此時該外國船只與島的距離；
（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時
海里的速度沿正南方航行．為了將該船攔截在離島
海里的
處（在的正南方向），不讓其進入島海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到
，速度精確到
海里/小時）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四邊形
為正方形，
平面，四邊形
與四邊形
也都為正方形，連接
，點
為
的中點，有下述四個結論：
①
； �、�
與
所成角為
；
③
平面
； �、�與平面
所成角為
．
其中所有正確結論的編號是（ ）
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某創業團隊擬生產
兩種產品，根據市場預測，
產品的利潤與投資額成正比（如圖1），
產品的利潤與投資額的算術平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)
（注：利潤與投資額的單位均為萬元）
(1)分別將兩種產品的利潤
、
表示為投資額
的函數；
(2)該團隊已籌集到10 萬元資金，并打算全部投入兩種產品的生產，問:當產品的投資額為多少萬元時，生產兩種產品能獲得最大利潤，最大利潤為多少?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】西湖小學為了豐富學生的課余生活開設課后少年宮活動，其中面向二年級的學生共開設了三門課外活動課：七巧板、健美操、剪紙.203班有包括奔奔、果果在內的5位同學報名參加了少年宮活動，每位同學只能挑選一門課外活動課，已知每門課都有人選，則奔奔和果果選擇了同一個課外活動課的選課方法種數為（ ）
A.18B.36C.72D.144
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝lnx+ax2+ax．
（1）若曲線y＝f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y＝4x+1平行，求實數a的值；
（2）若
時，關于x的方程
在（0，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．
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