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【題目】已知三棱錐如圖的展開圖如圖2,其中四邊形ABCD為邊長等于的正方形,和均為正三角形．

(1)證明：平面平面ABC；

(2)若M是PC的中點,點N在線段PA上,且滿足,求直線MN與平面PAB所成角的正弦值．

【答案】(1)詳見解析；(2).

【解析】

利用等腰三角形的三線合一的性質、勾股定理的逆定理,利用線面垂直來證面面垂直；

建立空間直角坐標系,利用向量法來求直線與平面所成的角.

解：取AC的中點O,連接OP,OB,則有

且O為AC的中點,；同理,．

平面POB，則有為平面的平面角，

又在中，,,則有,

平面平面ABC．

由可知，平面ABC，則有，，又，所以，建立如右圖所示的空間直角坐標系．

則有,,0，,1，,0，,0，,

是PC的中點,,又,,

設平面PAB的一個法向量為,則有,,

設直線MN與平面PAB所成角為,．

故直線MN與平面PAB所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，、與平面所成的角依次是和，，，依次是，上的點，其中，.

（1）求直線與平面所成的角（結果用反三角函數值表示）；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，某自來水公司要在公路兩側鋪設水管，公路為東西方向，在路北側沿直線鋪設線路l1，在路南側沿直線鋪設線路l2，現要在矩形區域ABCD內沿直線將l1與l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設∠EFB= α,矩形區域內的鋪設水管的總費用為W．

（1）求W關于α的函數關系式；

（2）求W的最小值及相應的角α．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設是定義在上的函數，若存在，使得在單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數，為峰點，包含峰點的區間稱為含峰區間，其含峰區間的長度為：．

（1）判斷下列函數中，哪些是“上的單峰函數”？若是，指出峰點；若不是，說出原因；；

（2）若函數是上的單峰函數，求實數的取值范圍；

（3）若函數是區間上的單峰函數，證明：對于任意的，若，則為含峰區間；若，則為含峰區間；試問當滿足何種條件時，所確定的含峰區間的長度不大于0.6．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在中，角、、所對的邊分別為、、，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】關于函數，給出以下四個命題，其中真命題的序號是_______.

①時，單調遞減且沒有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，則解的個數一定是偶數；

④是偶函數且有最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

有時可用函數

描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數（），表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關.

（1） 證明：當時，掌握程度的增加量總是下降；

（2） 根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為,,

.當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

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