Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M為PD的中點.

（1）證明：MO∥平面PAB；

（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）推導出O是BD中點，從而OM∥PB，由此能證明OM∥平面PAB.
（2）推導出四邊形ABCD是菱形，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AM與平面ABCD所成角的正弦值.

（1）證明：∵底面ABCD是平行四邊形，O為AC的中點，M為PD的中點.

∴O是BD中點，∴OM∥PB，

∵OM平面PAB，PB平面PAB，

∴OM∥平面PAB；

（2）解：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，

∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD且PO＝4，

∴四邊形ABCD是菱形，

以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

A（1，0，0），D（0，，0），P（0，0，4），M（0，，2），

（﹣1，，2），

平面ABCD的法向量（0，0，1），

設直線AM與平面ABCD所成角為θ，

則sinθ.

∴直線AM與平面ABCD所成角的正弦值為.