Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，，將△ABC沿著BC折起，

（1）若，求異面直線AB和CD所成角的余弦值；

（2）當四面體ABCD的體積最大時，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據異面直角所成角的空間向量計算公式，再利用題給信息構造空間直角坐標系，即可求出所求角；

（2）當平面ABC⊥平面BCD時，四面體ABCD體積有最大值，即可得答案.

（1）因為∠BAC＝90°，且AB＝AC，BC，

∴，∴AB＝AC＝AD，

∴作AO⊥平面BCD，垂足O必為△BCD的外心，

又因為△BCD中，∠BCD＝90°，△BCD的外心在斜邊中點處，即O點為BD中點，

則以OA方向建立z軸，過O點作x軸平行于BC，作y軸平行于CD，如圖所示

得坐標，，，

∴

∴（0，﹣2，0），，

設AB與CD所成角為，

則；

（2）當平面ABC⊥平面BCD時，四面體ABCD體積有最大值，此時二面角A﹣BC﹣D為90°，其余弦值為0.