Question

【題目】如圖，平面平面，四邊形是菱形， .

（1）求證： ；

（2）若，且直線與平面所成角為，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得平面，結合線面平行的性質和題意有.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面向量的法向量可求得二面角的平面角的余弦值為.

試題解析：

解：(1)連接，設，因為平面平面，且交線為，

因為，所以平面， 平面，所以平面平面，四邊形是菱形，所以，所以平面，所以，又，所以.

(2)解法一：過點作于點，連接，因為平面平面，即直線與平面所成角為，不妨設，則，過點在內作的平行線，則平面，以點為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，則，

所以，

設平面的法向量為，則，所以，取，

同理可得平面的法向量為，

所以，因為二面角是銳角，所以其余弦值為.

解法二：過點作于點，連接，因為平面平面，又，所以平面，所以，即平面，所以，即是二面角的平面角，過點作于點，連接，所以平面，即直線與平面所成角為，不妨設，則，因為∽，所以，又，所以，所以，所以二面角的余弦值為.