【題目】已知函數
，其中
， 
， 
是自然對數的底數.
（Ⅰ）討論
的單調性；
（Ⅱ）設函數
，證明： 
.
【答案】（Ⅰ）
在
上單調遞減，在
上單調遞增；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）先求函數導數，根據導函數零點情況分類討論：當
時，僅有一個零點1；當
時，兩個相同的零點；當
及
時，兩個不同的零點，最后根據導函數符號變化規律確定單調性，（2）先等價轉化所證不等式： 
①且
②，然后分別利用導數研究函數最值： 
的最小值為
， 
的最小值為
試題解析：（Ⅰ） 
（1）當
時， 
，當
， 
；當
， 
；
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）當
時，令
，得
，
由
得
，由
得
或
，
所以
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
（3）當
時，令
， 
，故
在
上遞增.
（4）當
時，令
，得
，
由
得
，由
得
或
，
所以
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上，當
時， 
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
當
時， 
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
當
時， 
在
上遞增.
當
時， 
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
（Ⅱ）
①且
②
先證①：令
，則
，
當
， 
， 
單調遞減；當
， 
， 
單調遞增；
所以
，故①成立！
再證②：由（Ⅰ），當
時， 
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
，故②成立！
綜上， 
恒成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學為調研學生在
， 
兩家餐廳用餐的滿意度，從在
， 
兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分.
整理評分數據，將分數以10為組距分成6組： 
， 
， 
， 
， 
， 
，得到
餐廳分數的頻率分布直方圖，和
餐廳分數的頻數分布表：
定義學生對餐廳評價的“滿意度指數”如下：
分數 |
|
|
|
滿意度指數 |
|
|
|
（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對
餐廳評價“滿意度指數”為0的人數；
（Ⅱ）從該校在， 
兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調查，試估計其對
餐廳評價的“滿意度指數”比對
餐廳評價的“滿意度指數”高的概率；
（Ⅲ）如果從
， 
兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
與直線
相切.
（1）若直線
與圓
交于
兩點，求
；
（2）設圓
與
軸的負半軸的交點為
，過點
作兩條斜率分別為
的直線交圓
于
兩點，且
，試證明直線
恒過一定點，并求出該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在拋物線
上，且
到拋物線
的焦點
的距離等于2.
求拋物線
的方程；
若直線
與拋物線
相交于
兩點，且
為坐標原點），求證直線
恒過
軸上的某定點，并求出該定點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,側視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．
(1)求該幾何體的體積
;
(2)求該幾何體的表面積
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司生產電飯煲，每年需投入固定成本40萬元，每生產1萬件還需另投入16萬元的變動成本，設該公司一年內共生產電飯煲
萬件并全部銷售完，每一萬件的銷售收入為
萬元，且
（
），該公司在電飯煲的生產中所獲年利潤為
（萬元），（注：利潤=銷售收入-成本）
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量
（萬件）的函數解析式，并求年利潤的最大值；
（2）為了讓年利潤
不低于2360萬元，求年產量
的取值范圍.
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