Question

【題目】已知等差數列{an}中，公差d>0，其前n項和為Sn，且滿足：a2a3＝45，a1＋a4＝14.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)通過公式bn＝構造一個新的數列{bn}．若{bn}也是等差數列，求非零常數c；

(3)對于(2)中得到的數列{bn}，求f(n)＝ (n∈N*)的最大值．

Answer 1

【答案】(1)an＝4n－3．(2) ．

【解析】試題分析：

（1）由等差數列的性質可得a2＋a3＝14，解方程組可得a2＝5，a3＝9，于是可求得首項和公差，從而可得通項公式．（2）由題意得Sn＝2n2－n，故，根據數列為等差數列可得2b2＝b1＋b3，計算可得．經驗證可得滿足題意．（3）由（2）可得，故可根據基本不等式求最值．

試題解析：

(1)∵數列{an}是等差數列．

∴a2＋a3＝a1＋a4＝14，

由，解得或．

∵公差d>0，

∴a2＝5，a3＝9．

∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1．

∴．

(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，

∴．

∵數列{bn}是等差數列，

∴2b2＝b1＋b3，

∴2·＝＋，

解得 (c＝0舍去)．

∴．

顯然{bn}成等差數列，符合題意，

∴．

(3)由（2）可得

，當且僅當，即時等號成立．

∴f(n)的最大值為．