Question

【題目】已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 為f（x）的零點，x= 為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（ ， ）單調，則ω的最大值為 ．

Answer 1

【答案】9
【解析】解：∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 為f（x）的零點，x= 為y=f（x）圖象的對稱軸， ∴ω（﹣ ）+φ=nπ，n∈Z，且ω +φ=n′π+ ，n′∈Z，
∴相減可得ω =（n′﹣n）π+ =kπ+ ，k∈Z，即ω=2k+1，即ω為奇數．
∵f（x）在（ ， ）單調，
（Ⅰ）若f（x）在（ ， ）單調遞增，
則ω +φ≥2kπ﹣ ，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z，
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ+ ①，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z ②，
把①②可得 ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇數ω的最大值為11．
當ω=11時，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ=﹣ ．
此時f（x）=sin（11x﹣ ）在（ ， ）上不單調，不滿足題意．
當ω=9時，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ= ，
此時f（x）=sin（9x+ ）在（ ， ）上單調遞減，不滿足題意；
故此時ω無解．
（Ⅱ）若f（x）在（ ， ）單調遞減，
則ω +φ≥2kπ+ ，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z，
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ﹣ ③，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z ④，
把③④可得 ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇數ω的最大值為11．
當ω=11時，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ=﹣ ．
此時f（x）=sin（11x﹣ ）在（ ， ）上不單調，不滿足題意．
當ω=9時，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ= ，
此時f（x）=sin（9x+ ）在（ ， ）上單調遞減，滿足題意；
故ω的最大值為9．
故答案為：9．
先跟據正弦函數的零點以及它的圖象的對稱性，判斷ω為奇數，由f（x）在（ ， ）單調，分f（x）在（ ， ）單調遞增、單調遞減兩種情況，分別求得ω的最大值，綜合可得它的最大值．