Question

【題目】已知a，b，c，d都是實數，且a2+b2=1，c2+d2=4， 求證：|ac+bd|≤2．

Answer 1

【答案】證明：證法一：要證|ac+bd|≤2成立， 只要證（ac+bd）2≤4即可，
只需證（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）即可，
即證2acbd≤a2d2+b2c2 ，
即證（ad﹣bc）2≥0，
由題知a，b，c，d都是實數，（ad﹣bc）2≥0顯然成立．
故|ac+bd|≤2．
證法二：（ac+bd）2﹣4=（ac+bd）2﹣（a2+b2）（c2+d2）
=2acbd﹣a2d2﹣b2c2=﹣（ad﹣bc）2 ，
由題知a，b，c，d都是實數，（ad﹣bc）2≥0，
即ac+bd）2﹣4≤0，
故|ac+bd|≤2．
證法三：設a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），
則|ac+bd|=|2cosαcosβ+2sinαsinβ|
=2|cosαcosβ+sinαsinβ|=2|cos（α﹣β）|≤2，
故|ac+bd|≤2
【解析】方法一、運用分析法證明，可通過兩邊平方，完全平方公式即可得證；方法二、運用作差比較法，結婚條件和配方即可得證；方法三、運用三角換元法，可令a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），運用兩角差的余弦公式，以及余弦函數的值域即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．