Question

【題目】已知函數，，（常數且）.

（Ⅰ）當與的圖象相切時，求的值；

（Ⅱ）設，若存在極值，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(I) (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）設切點為，再利用導數的幾何意義求出a的值；（Ⅱ）由題得，再對a分類討論，利用導數分析函數極值情況得到的取值范圍.

解：（Ⅰ）設切點為，，

所以過點的切線方程為，即，

所以，解得.

（Ⅱ）依題意，，，

當a＞0時，令，則，

令，，令，，

所以，當時，單調遞減；當時，單調遞增.

若存在極值，則，即，

又時，，

所以，時，

在存在零點，且在左側，在右側，

即存在變號零點.

當a＜0時，當時，單調遞增；當時，單調遞減.

若存在極值，則，即，

又時，，

所以，時，

在存在零點，且在左側，在右側，

即存在變號零點.

所以，若存在極值，.