Question

設m、t為實數，函數f(x)=

mx+t

x2+1

，f（x）的圖象在點M（0，f（0））處的切線的斜率為1．
（1）求實數m的值；
（2）若對于任意x∈[-1，2]，總存在t，使得不等式f（x）≤2t成立，求實數t的取值范圍；設方程x²+2tx-1=0的兩個實數根為a，b（a＜b），若對于任意x∈[a，b]，總存在x₁、x₂∈[a，b]，使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，記g（t）=f（x₂）-f（x₁），當g(t)=

5

時，求實數t的值．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義可得f^′（0）=1即可求出m的值．
（2）根據f（x）=

x+t

x2+1

可得t≥

x

2x2+1

成立即t≥(

x

2x2+1

)min從而將問題轉化為求函數s（x）=

x

2x2+1

的最小值者可利用導數判斷函數的單調性解決．而對于第二小問可根據對于任意x∈[a，b]，總存在x₁，x₂∈[a，b]使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立得出x₁，x₂分別是區間[a，b]f（x）的最小最大值點，然后利用導數求出函數f（x）的最大值點再代入到g（t）中結合a，b為方程x²+2tx-1=0的兩個實數根即可得解．

解答：解：（1）∵f(x)=

mx+t

x2+1

∴f^′（x）=

-mx2-2tx+m

(x2+1)2

∵函數f(x)=

mx+t

x2+1

，f（x）的圖象在點M（0，f（0））處的切線的斜率為1
∴f^′（0）=1
∴m=1
（2）由（1）知f（x）=

x+t

x2+1

∵對于任意x∈[-1，2]，總存在t，使得不等式f（x）≤2t成立
∴對于任意x∈[-1，2]，總存在t，使得不等式t≥

x

2x2+1

成立即t≥(

x

2x2+1

)min
令s（x）=

x

2x2+1

則s^′（x）=

-2x2+1

(2x2+1)2

∴當s^′（x）≥0時-

2

2

≤x≤

2

2

當s^′（x）≤0時x≤-

2

2

或x≥

2

2

而x∈[-1，2]故-1≤x≤-

2

2

或

2

2

≤x≤2
∴s（x）在[-1，-

2

2

]單調遞減，在（-

2

2

，

2

2

）單調遞增，在[

2

2

，2]單調遞減
∵s（-

2

2

）=-

2

4

，s（2）=

2

9

∴s（x）_min=-

2

4

∴t≥-

2

4

又由韋達定理可得a+b=-2t，ab=-1，b-a=2

t2+1

若對于任意x∈[a，b]，總存在x₁，x₂∈[a，b]使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，說明x₁，x₂分別是區間[a，b]f（x）的最小最大值點．
由（1）可得，f'（x）=

-x2-2tx+1

(x2+1)2

，注意h（x）=x²+2tx-1，不難發現函數f（x）在區間[a，b]
f'（x）≥0，f（x）遞增，則x₁=a，x₂=b
則g（t）=f（x₂）-f（x₁）=f（b）-f（a）=

b+t

b2+1

-

a+t

a2+1

=

ab(a-b)+(b-a)+t(a+b)(a-b)

(ab)2+(a+b)2-2ab+1

∵a+b=-2t，ab=-1，b-a=2

t2+1

∴g（t）=

t2+1

∵g(t)=

5

∴t=±2

點評：本題主要考查了導數求函數的幾何意義，以及利用導數求函數的最大最小值問題，屬常考題，較難．解題的關鍵是理解導數的幾何意義即為函數在某點處切線的斜率以及根據方程x²+2tx-1=0的兩個實數根為a，b（a＜b）得出x²+2tx-1≤0在區間[a，b]恒成立即f'（x）≥0進而求出了最大最小值點！