Question

【題目】已知定義在上的函數，其中，e為自然對數的底數.

（1）求證：有且只有一個極小值點；

（2）若不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）知，遞增，由和，根據零點存在定理則可證.

（2）由探求出，轉化為證明當，在上恒成立，令

進一步轉化為，再證明該不等式右邊恒大于等于0即可.

（1）證明：由于，，

則在上單調遞增.

令，則，

故當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

則，即.

由于，，

故，使得，且當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

因此在有且只有一個極小值點，無極大值點.

（2）解：由于不等式在上恒成立，

（i）必要性，當時，不等式成立，即，

令，，

由于，則在上單調遞增，

又由于，則的解為，

（ii）充分性，下面證明當時，在上恒成立，

令，

由于，，，

，

則，

令，則，

故，在上單調遞增.

由于，則當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

故，即恒成立，

因此，當時，在上恒成立.