Question

【題目】已知為正整數，各項均為正整數的數列滿足：，記數列的前項和為．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若為奇數，求證：“”的充要條件是“為奇數”．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）見解析.

【解析】

（1）利用遞推公式直接代入求值.

（2）分類討論當為奇數和偶數的情況，再討論為奇數和偶數的情況，求得的值.

（3）先證充分性（易證得），再證必要性，用數學歸納法證明.

解：（1），，則前7項為8，4，2，1，3，5，7，故．

（2）由題設是整數．

①若為奇數,可設，,則是偶數，得，

則，此時，符合題意

②若為偶數,可設，,則，

當是偶數時，可設，得，，

則，此時不存在．

當是奇數時，可設，得，，

，則，得 ，得．

綜合①②可得，或．

（3）充分性：若為奇數，則；

必要性：先利用數學歸納法證：（為奇數）；（為偶數）．

①，，成立；

②假設時，（為奇數）；（為偶數）．

③當時，當是偶數，；當是奇數，，此時是偶數．

綜上，由數學歸納法得（為奇數）；（為偶數）．

從而若時，必有是偶數．進而若是偶數，則矛盾，故只能為奇數．