Question

【題目】設和是函數的兩個極值點,其中.

（1）求的取值范圍;

（2）若為自然對數的底數),求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題（1）先求，由已知條件得，方程=0有兩個不等的正根，則有，解得，結合韋達定理將變形為關于變量的函數表達式，，進而求值域得的取值范圍；（2）將變形為，為了減少參數，將代入得，

，為了便于求值域，利用，繼續變形為

，設，通過還原，將表示為變量的函數，進而求值域即可．

（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x），

依題意，方程x2﹣（m+2）x+1＝0有兩個不等的正根a、b（其中a＜b），

故，∴m＞0，

又a+b＝m+2，ab＝1，

∴f（a）+f（b）＝lnab（m+2）（a+b）

（m+2）（a+b），

∵m＞0，∴（m+2）2﹣1＜﹣3，

故f（a）+f（b）的取值范圍是（﹣∞，﹣3）；

（2）當m2時，（m+2）2≥e2，

設t（t＞1），則（m+2）2＝（a+b）2te2，

∴te（t﹣e）（1）≥0，∴t≥e，

∴f（b）﹣f（a）＝ln（b2﹣a2）﹣（m+2）（b﹣a）

＝ln（b2﹣a2）﹣（b+a）（b﹣a）＝ln（b2﹣a2）

＝ln（）＝ln（）＝lnt（t），

構造函數g（t）＝lnt（t），其中t≥e，

由g′（t）（1）0

∴g（t）在[e，+∞）上單調遞減，g（t）≤g（e）＝1，

故f（b）﹣f（a）的最大值為1．