Question

【題目】設為實數，函數, .

（1）求的單調區間與極值；

（2）求證：當且時， .

Answer 1

【答案】(1)在上減,在上增;當時,取極小值（2）見解析

【解析】試題分析：本題主要考查函數的單調區間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數的性質、函數增減區間的判斷、極值的計算和不等式性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答．第一問，由， ，知， ．令，得．列表討論能求出的單調區間區間及極值；第二問，設， ，于是， ．由第一問知當時， 最小值為，于是對任意，都有，所以在R內單調遞增．由此能夠證明．

試題解析：∵， ，

∴， ．

令，得．

于是當x變化時， ， 的變化情況如下表：

故的單調遞減區間是，

單調遞增區間是，

在處取得極小值，

極小值為，無極大值．

（2）證明：設， ，

于是， ．

由（1）知當時，

最小值為．

于是對任意，都有，所以在R內單調遞增．

于是當時，對任意，都有．

而，從而對任意， ．

即，

故．