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【題目】在如圖所示的幾何體中，底面是矩形，平面平面，平面平面，是邊長為4的等邊三角形，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)先證明平面，又，從而證明平面.即可得證.

(2)以的中點為為原點建立空間之間坐標系，標出點的坐標，求出平面的法向量為，平面的法向量代入公式即可求解.

（1）由底面為矩形可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面

因為平面MCD，平面MCD，所以平面MCD，

而平面平面，所以，所以平面.

又平面，所以.

（2）如圖，設的中點為，過作交于.易知兩兩垂直，以為原點，分別以為，軸建立空間直角坐標系

則，，

所以，，

設平面的法向量為.

由可得可令，可得

設平面的法向量

由可得令，可得

則

易知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為

練習冊系列答案
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【題目】甲、乙兩位同學參加詩詞大賽，各答3道題，每人答對每道題的概率均為，且各人是否答對每道題互不影響.

（Ⅰ）用表示甲同學答對題目的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；

（Ⅱ）設為事件“甲比乙答對題目數恰好多2”，求事件發生的概率.

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【題目】某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的各棱中，最長棱的長度為（ ）

A. B. C. 2 D. 1

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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，離心率為.分別是橢圓的上、下頂點，是橢圓上異于的一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在直線上，且，求的面積；

（3）過點作斜率為的直線分別交橢圓于另一點，交軸于點，且點在線段上（不包括端點），直線與直線交于點，求的值.

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【題目】截至2019年，由新華社《瞭望東方周刊》與瞭望智庫共同主辦的"中國最具幸福感城市"調查推選活動已連續成功舉辦12年，累計推選出60余座幸福城市，全國約9億多人次參與調查，使"城市幸福感"概念深入人心.為了便于對某城市的"城市幸福感"指數進行研究，現從該市抽取若干人進行調查，繪制成如下不完整的2×2列聯表(數據單位:人).

男

女

總計

非常幸福

11

15

比較幸福

9

總計

30

（1）將列聯表補充完整，并據此判斷是否有90%的把握認為城市幸福感指數與性別有關；

（2）若感覺"非常幸福"記2分，"比較幸福"記1分，從上表男性中隨機抽取3人，記3人得分之和為，求的分布列，并根據分布列求的概率

附:，其中.

）

0. 10

0. 05

0. 010

0.001

2.706

3.841

6. 635

10. 828

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【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且，直線與軸軸分別交于兩點.

①設直線斜率分別為，證明存在常數使得，并求出的值；

②求面積的最大值.

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【題目】已知的三邊分別為所對的角分別為，且三邊滿足，已知的外接圓的面積為，設.則的取值范圍為______，函數的最大值的取值范圍為_______．

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【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（1）討論的單調性；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

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【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當時，證明：函數有兩個零點；

（Ⅲ）若函數有兩個不同的極值點，記作，且，證明（為自然對數的底數）.

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