Question

【題目】某汽車公司最近研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試�，F對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）.

（2）根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程近似地服從正態分布，經計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50。用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，現任取一輛汽車，求它的單次最大續航里程恰在250千米到400千米之間的概率.

參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，.

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券3萬元。已知硬幣出現正、反面的概率都是0.5方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次。若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到）若擲出反面遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第格的概率為P試證明是等比數列，并求參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額的期望值。

Answer 1

【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）證明見解析，期望值為，約2萬元.

【解析】

0000

(1)利用每組中點值乘以其頻率,再求和即可得到平均值；

(2)由(1)可知，利用求解即可；

(3)根據題意可知：得出移到第n格兩種方式①遙控車先到第格，又擲出反面；②遙控車先到第格，又擲出正面，由此得到，利用定義證明其為等比數列，結合累加法得出的表達式，由此得到，，根據題意得出參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額為萬元，或0，分別求出或0的概率，然后求出期望即可.

（1）（千米）

（2）因為服從正態分布

所以

（3）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現正面，遙控車移到第一格，其概率為,即。遙控車移到第n（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種。

①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為

②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為

所以，

當時，數列是公比為的等比數列

以上各式相加，得

（）， 獲勝的概率

失敗的概率

設參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額為萬元，或0

X的期望

參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額的期望值為，約2萬元.