Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
設函數f（x）=|x+ |+|x﹣2m|（m＞0）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥8恒成立；
（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：函數f（x）=|x+ |+|x﹣2m|（m＞0），

∴f（x）=|x+ |+|x﹣2m|≥|x+ ﹣（x﹣2m）|=| +2m|= +2m≥2 =8，

當且僅當m=2時，取等號，故f（x）≥8恒成立．

（Ⅱ）f（1）=|1+ |+|1﹣2m|，當m＞ 時，f（1）=1+ ﹣（1﹣2m），不等式即 +2m＞10，

化簡為m2﹣5m+4＞0，求得m＜1，或m＞4，故此時m的范圍為（ ，1）∪（4，+∞）．

當0＜m≤ 時，f（1）=1+ +（1﹣2m）=2+ ﹣2m關于變量m單調遞減，

故當m= 時，f（1）取得最小值為17，

故不等式f（1）＞10恒成立．

綜上可得，m的范圍為（0，1）∪（4，+∞）．

【解析】（Ⅰ）利用絕對值三角不等式、基本不等式證得f（x）≥8恒成立．

（Ⅱ）當m＞ 時，不等式即 +2m＞10，即m2﹣5m+4＞0，求得m的范圍．當0＜m≤ 時，f（1）=1+ +（1﹣2m）=2+ ﹣2m關于變量m單調遞減，求得f（1）的最小值為17，可得不等式f（1）＞10恒成立．綜合可得m的范圍．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．