Question

【題目】設數列{an}是公差大于0的等差數列，Sn為數列{an}的前n項和，已知S3=9，且2a1 ， a3﹣1，a4+1構成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足 =2n﹣1（n∈N*），設Tn是數列{bn}的前n項和，證明：Tn＜6．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵公差不為零的等差數列{an}的前3項和S3=9，得到a2=3，

且2a1，a3﹣1，a4+1構成等比數列，

∴得到未知數a2與d的方程組： ，

由d≠0，解得a1=1，d=2，

∴an=2n﹣1．

（2）證明：∵數列{bn}滿足 =2n﹣1（n∈N*），

∴ ，∴bn=（2n﹣1）21﹣n=（4n﹣2）

設Tn是數列{bn}的前n項和，

則Tn=2 +6 +10 +14 +…+（4n﹣2） ，①

=2 +6 …+（4n﹣2） ，②

①﹣②，得： Tn=1+1+ ﹣

=1+ ﹣（4n﹣2） =3﹣ ，

∴Tn=6﹣ ＜6．

∴Tn＜6．

【解析】（1）利用等差數列前n項和、通項公式和等比數列，列出方程組，求出首項與公差，由此能求出數列{an}的通項公式．（2）推導出bn=（2n﹣1）21﹣n=（4n﹣2） 利用錯位相減法求出數列{bn}的前n項和，由此能證明Tn＜6．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．