Question

【題目】如圖，一個圓心角為直角的扇形AOB 花草房，半徑為1，點P 是花草房弧上一個動點，不含端點，現打算在扇形BOP 內種花，PQ⊥OA，垂足為Q，PQ 將扇形AOP 分成左右兩部分，在PQ 左側部分三角形POQ 為觀賞區，在PQ 右側部分種草，已知種花的單位面積的造價為3a，種草的單位面積的造價為2a，其中a 為正常數，設∠AOP=θ，種花的造價與種草的造價的和稱為總造價，不計觀賞區的造價，設總造價為f（θ）

（1）求f（θ）關于θ 的函數關系式；
（2）求當θ 為何值時，總造價最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：種花區的造價為 ，種草區的造價為 ，

故總造價f（θ）= （ ﹣θ）+（ ﹣ sinθcosθ）2α=（ ﹣ ﹣sinθcosθ）α，0＜θ＜

（2）解： =

令f'（θ）=0，得到

θ
f'（θ）	_	0	+
f（θ）	遞減	極小值	遞增

故當 時，總造價最小，且總造價最小為

【解析】（1）分別求出種花區的造價，種草區的造價，即可得到f（θ）關于θ 的函數關系式，（2）先求導，再根據導數和函數的最值得關系即可求出答案．
【考點精析】關于本題考查的扇形面積公式，需要了解若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，才能得出正確答案．