Question

【題目】如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的多面體中，四邊形ACDF是菱形，∠FAC=60°，AB∥DE，BC∥EF，AB=BC=3，AF=2 ．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACDF；
（2）求平面AEF與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設O是AC中點，連結OF、OB、FC，

在△ABC中，AB=BC，∴OB⊥AC，

∵四邊形ACDF是菱形，∠FAC=60°，

∴△FAC是等邊三角形，∴OF⊥AC，

∴∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，

在Rt△FAO中，AF=2 ，AO= AC= AF= ，

∴OF= = ，

又∵BF= ，∴OF2+OB2=BF2，

∴∠FOB=90°，

∴平面ABC⊥平面ACDF．

（2）解：由（1）知OB、OC、OF兩兩垂直，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OF為z軸，

建立空間直角坐標系，

則A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），F（0，0，3），

=（0， ，3）， =（0，2 ，0），

∵AB∥DE，AF∥CD，又AB平面CDE，AF平面CDE，

DE平面CDE，CD平面CDE，

∴AB∥平面CDE，AF∥平面CDE，

又AB∩AF=A，∴平面ABF∥平面CDE，

∵EF∥BC，∴B、C、E、F四點共面，

又平面ABF∩平面BCEF=BF，平面CDE∩平面BCEF=CE，

∴BF∥CE，∴四邊形BCEF是平行四邊形，

∴ = =（﹣ ，0），

∴ =（﹣ ，3），

設平面AEF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ），

設平面ACE的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a= ，得 =（ ），

設平面AEF與平面ACE所成的銳二面角為θ，

則cosθ= = ．

∴平面AEF與平面ACE所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）設O是AC中點，連結OF、OB、FC，推導出OB⊥AC，OF⊥AC，則∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，由此能證明平面ABC⊥平面ACDF．（2）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面AEF與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．