Question

一數列{a_n}的前n項的平均數為n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

an

2n+1

，證明數列{b_n}是遞增數列；
（3）設f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

an

2n+1

，是否存在最大的數M？當x≤M時，對于一切非零自然數n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）利用平均數的意義和當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）作差b_n+1-b_n，證明其大于0即可；
（3）利用（2）bn=

2n-1

2n+1

遞增，因此有最小值

1

3

．解出f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，即可知道是否存在最大的數M．

解答：解：（1）由題意可得n=

a1+a2+…+an

n

，∴Sn=n2，
當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當n=1時也成立．故a_n=2n-1．
（2）作差b_n+1-b_n=

an+1

2n+3

-

an

2n+1

=

2n+1

2n+3

-

2n-1

2n+1

=

(2n+1)2-(2n-1)(2n+3)

(2n+1)(2n+3)

=

4

(2n+1)(2n+3)

＞0，
∴b_n+1＞b_n對于任意正整數n都成立，因此數列{b_n}是遞增數列．
（3）∵bn=

2n-1

2n+1

遞增，∴有最小值

1

3

，
∴f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，解得x²-4x+1≥0，x≥2+

3

，或x≤2-

3

．
所以M=2-

3

．
存在最大的數M=2-

3

，當x≤M時，對于一切非零自然數n，都有f（x）≤0．

點評：熟練掌握數列的通項公式與其前n項和之間的關系、作差法比較數的大小、一元二次不等式的解法及其轉化法等是解題的關鍵．