Question

一數列{a_n}的前n項的平均數為n．

（1）求數列{a_n}的通項公式；

（2）設，證明數列{b_n}是遞增數列；

（3）設，是否存在最大的數M？當x≤M時，對于一切非零自然數n，都有f（x）≤0．

Answer 1

解答：

解：（1）由題意可得，∴，

當n=1時，a₁=S₁=1；

當n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1=n²﹣（n﹣1）²=2n﹣1．

當n=1時也成立．故a_n=2n﹣1．

（2）作差b_n+1﹣b_n====，

∴b_n+1＞b_n對于任意正整數n都成立，因此數列{b_n}是遞增數列．

（3）∵遞增，∴有最小值，

∴，解得x²﹣4x+1≥0，．

所以M=．

存在最大的數M=，當x≤M時，對于一切非零自然數n，都有f（x）≤0．