Question

【題目】已知函數f(x)＝1－ (a>0，a≠1)且f(0)＝0.

(1)求a的值；

(2)若函數g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零點，求實數k的取值范圍；

(3)當x∈(0，1)時，f(x)>m·2x－2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝2（2）(－∞，1)（3）

【解析】

（1）根據，求得的值；（2）由（1）知，將的零點轉化為函數與有交點，即可求得的取值范圍；（3）通過參變分離將不等式轉化為恒成立，再通過換元轉化為求函數的最小值.

(1)對于函數f(x)＝1－ (a>0，a≠1)，

由f(0)＝1－＝0，得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝1－＝1－.

因為g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零點，

所以函數y＝2x的圖象和直線y＝1－k有交點，所以1－k>0，即k<1.

故實數k的取值范圍是(－∞，1)．

(3)因為當x∈(0，1)時，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－>m·2x－2恒成立，亦即m<－恒成立．

令t＝2x，則t∈(1，2)，且m<－＝＝＋.

由于y＝＋在t∈(1，2)上單調遞減，

所以＋＋＝，所以m≤.

故實數m的取值范圍是.