Question

【題目】已知為單調遞增數列，為其前項和，

(Ⅰ)求的通項公式；

(Ⅱ)若為數列的前項和，證明：.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）由得，所以,

整理得,所以是以為首項，為公差的等差數列，可得；（2）結合（1）可得，利用裂項相消法求得的前項和，利用放縮法可得結論.

試題解析：（Ⅰ）當時，,所以，即,

又為單調遞增數列，所以.

由得，所以,

整理得,所以.

所以，即,

所以是以1為首項，1為公差的等差數列，所以.

(Ⅱ)

所以

.

【方法點晴】本題主要考查數列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.