Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數），設原點在圓的內部，直線與圓交于、兩點；以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求直線和圓的極坐標方程，并求的取值范圍；

（2）求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；；的取值范圍是（2）證明見解析；

【解析】

（1）消參可得直線的直角坐標方程，利用直角坐標與極坐標的互化可得直線和圓的極坐標方程，根據原點在圓的內部可得，解不等式即可.

（2）將直線的極坐標方程代入圓的極坐標方程可得，由，利用韋達定理即可求解.

解（1）將直線的參數方程化為直角坐標方程，得，

所以直線的極坐標方程為；

將圓的參數方程化為直角坐標方程，得，

所以圓的極坐標方程為.

由原點在圓的內部，得，解得，

故的取值范圍是.

（2）將代入，

得.

則，，

所以

，

故為定值.