Question

【題目】海州市六一兒童節期間在婦女兒童活動中心舉行小學生“海州杯”圍棋比賽，規則如下：甲、乙兩名選手比賽時，每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或賽滿6局時比賽結束.設某校選手甲與另一選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為，且各局比賽勝負互不影響，已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為.

(1)求的值；

(2)設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）依據題設比賽結束時須滿足“甲連勝2局或乙連勝2局”且這兩事件互斥，可借助這一條件建立方程求出；（2）依據題設條件分別求出，，.再運用隨機變量的分布列 數學期望公式求出.

試題解析：

(1)依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽結束，

∴有，解得或.

∵，∴.

(2)依題意知的所有可能值為2，4，6，

設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為，若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.

從而有，，

.

∴隨機變量的分布列為：

則.