Question

一個數字生成器，生成規則如下：第1次生成一個數，以后每次生成的結果是將上一次生成的每一個數生成兩個數，一
個是，另一個是．設第次生成的數的個數為，
則數列的前項和　         　；若，前次
生成的所有數中不同的數的個數為，則　        　．

Answer 1

,

解析（1）根據題意，一個數字生成器，生成規則可得：第1次生成1個數，第二次生成2個數，第三次生成4個數，第四次生成8個數…，以此類推知該數列是等比數列，利用等比數列求和公式即可求出數列{a_n}的前n項和S_n
（2）因為一個數字生成器，生成規則如下：第1次生成一個數x，以后每次生成的結果是將上一次生成的每一個數x生成兩個數，一個是-x，另一個是x+3，類推可求出數列的和．
解：（1）根據題意，一個數字生成器，生成規則可得：第1次生成1個數，第二次生成2個數，第三次生成4個數，第四次生成8個數…，以此類推，第n次生成的數的個數為a_n=2^n-1，
顯然，此數列為首項為1，公比為2的等比數列．再根據等比數列求和公式，則數列{a_n}的前n項和
S_n=2ⁿ-1．
（2）因為一個數字生成器，生成規則如下：第1次生成一個數x，以后每次生成的結果是將上一次生成的每一個數x生成兩個數，一個是-x，另一個是x+3．
第一次生成的數為“1”，
第二次生成的數為“-1、4”，
第三次生成的數為“1、2、-4、7”，
第四次生成的數為“-1、4、-2、5、4、-1、-7、10”
…
可觀察出：
第一次生成后前1次所有數中不同的個數為“1”，
第2次生成后前2次所有數中不同的個數為“3”，
第三次生成后前3次所有數中不同的個數為“6”，
第四次生成后前4次所有數中不同的個數為“10”，
…
以此類推以后為公差為4的等差數列．則易得數中不同的數的個數為T_n，則T_n=