Question

【題目】已知公差不為零的等差數列中，，且，，成等比數列，

（1）求數列的通項公式；

（2）數列滿足，數列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.

（3）設數列的前n項和為，求證：對任意正整數n，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）看解析.

【解析】

（1）設等差數列的公差為，由已知，求出，即可得數列的通項公式；

（2）由（1）可得，，利用錯位相減法即可得出，代入不等式對一切恒成立，對分類討論即可得出的取值范圍；

（3）當時，結論顯然成立；當時，，化簡證明即可.

（1）已知等差數列中，，設公差為，由已知，

則，所以，

得的通項公式為：

即：.

（2）由（1）可得，，

則

兩式相減得：

解得：.

所以不等式化為對一切恒成立，

若為偶數，則，即；

若為奇數，則，即；

綜上可得：.

（3）證明：當時，結論顯然成立；

當時，由（2）知，

.

所以，對任意正整數n，都有成立.