Question

【題目】如圖，在四棱錐中，ABCD為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面ABCD．

（1）證明：平面平面PBC；

（2）為直線PC的中點，且，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）．

【解析】

（1）由ABCD為矩形，得，再由面面垂直的性質可得平面PAB，則，結合，由線面垂直的判定可得平面PAD，進一步得到平面平面PBC；

（2）取AB中點O，分別以OP，OB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，分別求出平面MAD與平面MBD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方關系求得二面角的正弦值．

（1）證明：為矩形，，

平面平面ABCD，平面平面，

平面PAB，則，

又，，

平面PAD，而平面PBC，

平面平面PBC，即證.

（2）取AB中點O，分別以OP，OB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標系，

由，是以為直角的等腰直角三角形，

得：，，，，

，，．

設平面MAD的一個法向量為，

由可得，

取，得；

設平面MBD的一個法向量為，

由可得，

取，得．

.

設二面角的平面角為，

則.

二面角的正弦值為．