Question

【題目】已知函數，是實數.

（1）當時，求證：在定義域內是增函數；

（2）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）只有一個零點.

【解析】

（1）求出，證明出當時，對任意的恒成立，即可得出結論；

（2）由得出，設，其中，然后利用導數討論函數的單調性，根據單調性和函數值的情況分析根的情況．

（1）函數的定義域為，且，

令，則，令.

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，即，即對任意的恒成立.

因此，函數在定義域上為增函數；

（2）由，可得，

設，其中，則，

令，，則，令.

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，即，

對任意的，，即函數在上單調遞增，

當時，，當時，.

對任意的，直線與函數的圖象有且只有一個交點.

因此，函數有且只有一個零點.