Question

【題目】已知三棱錐內接于球O，平面ABC，為等邊三角形，且邊長，球的表面積為，則直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

設D為AB中點，先證明CD⊥平面PAB得出∠CPD為所求角，利用勾股定理計算PA，PD，CD，得出結論．

解：設D，E分別是AB，BC的中點，AE∩CD＝F，

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，

∵△ABC是等邊三角形，∴CD⊥AB，

又PA∩AB＝A，

∴CD⊥平面PAB，即∠CPD為PC與平面PAB所成的角．

∵△ABC是邊長為的等邊三角形，

∴CD＝AE＝，AFAE＝1，且F為△平面ABC所在截面圓的圓心，

∵球O的表面積為16π，∴球O的半徑OA，

∴OF，

∵PA⊥平面ABC，∴PA＝2OF＝2，

∴PD，PC

∴sin∠CPD．

故選：D．