Question

【題目】在如圖的平面多邊形ACBEF中，四邊形ABEF是矩形，點O為AB的中點，△ABC中，AC=BC，現沿著AB將△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如圖，此時OE⊥FC．
（1）求證：OF⊥EC；
（2）若FC與平面ABC所成角為30°，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，∵AC=BC，O是AB的中點，故OC⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面ABEF，

故OC⊥平面ABE，

于是OC⊥OF．OC⊥OE，

又OE⊥FC，

∵OF⊥平面OFC，

∴OE⊥OF，

又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，

∴OF⊥EC．

（2）由（I）得AB=2AF．不妨設AF=1，AB=2．

∵∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角，

∴∠FCA=30°，

∴FC=EC=2，△EFC為等邊三角形．

設FO∩EB=P，則O，B分別為PF，PE的中點，△PEC也是等邊三角形．

取EC的中點M，連結FM，MP，則FM⊥CE，MP⊥CE，

∴∠FMP為二面角F﹣CE﹣B的平面角．

在△MFP中，FM=MP= ，FP=2 ，

故cos∠FMP= = =- ，

即二面角F﹣CE﹣B的余弦值為﹣

【解析】（Ⅰ）連結OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OE，進而得到OF⊥OE，由此能證明OF⊥EC． （Ⅱ）由（I）得AB=2AF．設AF=1，AB=2．由∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知條件推導出∠FMP為二面角F﹣CE﹣B的平面角，由此能求出二面角F﹣CE﹣B的余弦值
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．