Question

【題目】已知定義在區間上的函數，

(1)判定函數在的單調性,并用定義證明；

(2)設方程有四個不相等的實根．

①證明：；

②在是否存在實數，使得函數在區間單調，且的取值范圍為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 在上單調遞增.證明見解析； (2) ①見證明；②存在，的取值范圍為

【解析】

(1)先判斷后按照定義法證明單調性的步驟進行證明即可;

(2) ①根據絕對值的性質，原方程可以轉化為：或，利用一元二次方程根與系數的關系，可以證明出；

②畫出函數的簡圖，結合①可以確定的取值范圍，結合圖象可以確定函數的單調性，這樣可以進行分類討論，利用構造新函數、代數式的恒等變形、二次函數的單調性，結合已知函數在區間單調，且的取值范圍為，最后可以求出的取值范圍.

(1)在上單調遞增.

證明:任取,，且.

∵

其中，，，

∴

∴在上單調遞增.

(2)①或

即或

∵為方程的四個不相等的實根

∴由根與系數的關系得

②如圖，

可知，在區間、上均為單調函數

(i)當時，在上單調遞增

則,即,在有兩個不等實根

而令,則

由二次函數的單調性，可得，

(ii)當時，在上單調遞減

則,兩式相除整理得

∴,∴,∴

由,得

∴

綜上，的取值范圍為