Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1的參數方程為 （φ為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=sinθ．
（Ⅰ）求曲線C1的極坐標方程及曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知曲線C1 ， C2交于O，A兩點，過O點且垂直于OA的直線與曲線C1 ， C2交于M，N兩點，求|MN|的值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲線C1的參數方程為 （φ為參數）， 利用平方關系可得：（x﹣1）2+y2=1，化為x2+y2﹣2x=0．
利用互化公式可得：曲線C1的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲線C2的極坐標方程為ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，可得：曲線C2的直角坐標方程為x2+y2=y．
（II）聯立 ，可得tanθ=2，設點A的極角為θ，則tanθ=2，可得sinθ= ，cosθ= ，
則M ，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1=2cos =2sinθ= ．
N ，代入ρ=sinθ，可得：ρ2=sin =cosθ= ．
可得：|MN|=ρ1+ρ2=
【解析】（I）曲線C1的參數方程為 （φ為參數），利用平方關系可得普通方程．利用互化公式可得：曲線C1的極坐標方程．曲線C2的極坐標方程為ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，利用互化公式可得：曲線C2的直角坐標方程． （II）聯立 ，可得tanθ=2，設點A的極角為θ，則tanθ=2，可得sinθ= ，cosθ= ，則M ，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1 ． N ，代入ρ=sinθ，可得：ρ2 ． 可得：|MN|=ρ1+ρ2 ．