Question

【題目】已知橢圓的離心率為，若橢圓與圓相交于兩點，且圓在橢圓內的弧長為．

（1）求的值；

（2）過橢圓的中心作兩條直線交橢圓于和四點，設直線的斜率為， 的斜率為，且．

①求直線的斜率；

②求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①. ；②. .

【解析】試題分析：（1）先求出的坐標，再利用離心率、點在橢圓上進行求解；（2）①設出直線方程，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用判別式、根與系數的關系、斜率公式進行求解；②利用弦長公式和點到直線的距離公式進行求解.

試題解析：（1）由圓在橢圓內的弧長為，則該弧所對的圓心角為， 的坐標分別為，設，由可得， ∴，

則橢圓方程可記為代入得， ∴，

∵， ∴；

（2）①由（1）知橢圓方程可記為，由題意知直線的斜率顯然存在

直線的方程為： ，設，聯立，

消去，可得，

，即， ，

，

∵， ∴，即， ∴；

②，

到直線的距離，

四邊形面積，

∵，

∴四邊形面積．