Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，過原點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，四邊形的周長與面積分別為8與 .

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)設直線交橢圓于兩點，且，求證：到直線的距離為定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用四邊形的周長和橢圓的定義得到，再利用四邊形的面積公式和點在橢圓上求出橢圓的標準方程；(Ⅱ)設出直線方程，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系、平面向量的數量積為0進行求解.

試題解析：(Ⅰ)不妨設點是第一象限的點，依題可得.

∵.

∵.

∵點在橢圓上，，解得，或（舍）,

∴橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)當直線斜率存在時，設直線的方程為,

由消去得,

設則,

∵,

即,即,

到直線的距離為.

當直線的斜率不存在時，設直線的方程為.

由橢圓的對稱性易知到直線的距離為.

到直線的距離為定值.