Question

【題目】某通訊公司需要在三角形地帶OAC區域內建造甲、乙兩種通信信號加強中轉站，甲中轉站建在區域BOC內，乙中轉站建在區域AOB內．分界線OB固定，且OB=（1+ ）百米，邊界線AC始終過點B，邊界線OA、OC滿足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．設OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．

（1）試將y表示成x的函數，并求出函數y的解析式；
（2）當x取何值時？整個中轉站的占地面積S△OAC最小，并求出其面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：結合圖形可知，S△BOC+S△AOB=S△AOC．

于是， x（1+ ）sin30°+ y（1+ ）sin45°= xysin75°，

解得：y= ，（其中3≤x≤6）

（2）

解：由（1）知，y= （3≤x≤6），

因此，S△AOC= xysin75°

=

= [（x﹣2）+ +4]

≥2+2 （當且僅當x﹣2= ，即x=4時，等號成立）．

∴當x=400米時，整個中轉站的占地面積S△OAC最小，最小面積是（2+2 ）×104平方米．

【解析】（1）由圖形知，S△BOC+S△AOB=S△AOC ， 代入面積公式，求出函數y的解析式；（2）由（1）知，函數y的解析式，求出S△AOC的表達式，利用基本不等式求出S△OAC最小時，x的取值以及最小面積是什么．