Question

（09年武漢二中調研）（12分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，M為AB中點.

   （1）求直線B₁C與DM所成角的余弦值；

   （2）求點M到平面DB₁C的距離；

   （3）求二面角M―B­­₁C―D的大小.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（1）連A₁D，則由A₁D//B₁C知，B₁C與DM所成角即為A₁D與DM所成角.連A₁M，則由正方體棱長為2得A₁D=，A₁M=DM=

∴cos∠A₁DM=，即直線B₁C與DM所成角的余弦值是………………（6分）

  

（2）正方體AC₁中，AB//DC，

AB平面DB₁C得AB//平面DB₁C，

點M在AB上

∴點M到平面DB₁C的距離等于點B

到平面DB₁C的距離，在平面BC₁內作

BO⊥B₁C，則O為B_­1C中點.由DC⊥

平面BC₁知BO⊥DC，

∵DCB₁C=C.

∴BO⊥平面DB₁C

∴BO長即為點B（點M）到平面DB₁C的距離，由于

所以點M到平面DB₁C的距離為.………………（文12分）

   （3）由題設可知MB₁=MC=.DC⊥B₁C

設R為DB₁中點，連MO，OR則有MO⊥B₁C，OR⊥B₁C，所以∠MOR為所求二面角M―B₁C―D的平面角.連MR，則可計算得

MO=

MR=

∴∠MRO=Rt∠，從而cos∠MOR=即二面角

M―B₁C―D的大小為………………（理12分）