Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若，關于的不等式在區間上恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，解關于的不等式；

（Ⅲ）若，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在區間上恒成立，即在區間上恒成立．求在區間上的最小值即可．（Ⅱ）當時即，討論當此不等式為一此不等式，當時此不等式為一元二次不等式，方程的兩根為和1，需比較兩根的大小再解不等式．（Ⅲ）屬于線性規劃問題，根據和可得的可行域，，表示動點與定點距離的平方，根據線性規劃先求得即可．

試題解析：（Ⅰ）不等式化為，即，

即在區間上恒成立，2分

由二次函數圖象可知，當時，有最小值，

所以的取值范圍為．4分

（Ⅱ）當時，不等式化為，5分

① 當時，不等式解集為；6分

② 當時，不等式解集為；7分

③ 當時，不等式化為，

若，不等式解集為；

若，不等式解集為；

若，不等式解集為．

綜上所述：

①當時，不等式解集為；

②當時，不等式解集為；

③當時，不等式解集為；

④當時，不等式解集為；

⑤當時，不等式解集為．10分

（Ⅲ）由題有作出如圖所示的平面區域：

又，

因為表示動點與定點距離的平方，

所以，由圖可知的范圍為，13分

所以，的取值范圍為．14分