Question

已知函數f(x)=lnx.

(Ⅰ)若F(x)=(a∈R)，求F(x)的極值；

(Ⅱ)討論(Ⅰ)中函數F(x)在(0，e²]上的單調性；

(Ⅲ)若G(x)=[f(x)]²-kx在定義域內單調遞減，求滿足此條件的實數k的取值范圍．

Answer 1

解：(1)F′(x)=

由F′(x)=0得,x=e^1-a，又F(x)的定義域為(0，+∞)，∴當x∈(0，e^1-a)時，F′(x)＞0，F(x)在(0，e^1-a)上單調遞增；

當x∈(e^1-a，+∞)時，F′(x)＜0，F(x)在(e^1-a，+∞)上單調遞減，

∴F(x)的極大值為F(e^1-a)=e^a-1.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當e^1-a≥e²，即a≤-1時，

F′(x)≥0，此時F(x)在(0，e²)上單調遞增；

當e^1-a＜e²，即a＞-1時，F(x)在(0,e^1-a)上為增函數，

在[e^1-a，e²]上為減函數.(9分)

(Ⅲ)G(x)=(lnx)²-kx，定義域為(0，+∞).

G′(x)=lnx-k＜0在(0，+∞)上恒成立.

記H(x)=lnx-k，則H′(x)=，由H′(x)=0得x=e.

∵當x∈(0，e)時，H′(x)＞0，則(x)為增函數；

當x∈(e，+∞)時，H′(x)＜0，H(x)為減函數.

∴x=e時，H(x)取最大值H(e)=-k.

為使G′(x)=H(x)＜0在(0，+∞)上恒成立，必須且只需-k＜0恒成立.  ∴k＞.

當k=時，只有一點x=e使得G′(x)=H(x)=0，不影響G(x)的單調性，∴k≥.