Question

【題目】已知平面上的線段及點，任取上一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作.

（1）求點到線段的距離；

（2）設是長為的線段，求點的集合所表示的圖形的面積為多少？

（3）求到兩條線段、距離相等的點的集合，并在直角坐標系中作出相應的軌跡.其中，，，，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設是線段上一點，表示出，根據二次函數性質，即可求出結果；

（2）因為表示在線段上時，線段長度的最大值不超過1，由此得到點集所表示的圖形是一個正方形和兩個半圓組成，進而可求出其面積；

（3）根據題意，得到兩直線方程，確定直線之間關系，進而可得出結果.

（1）設是線段上一點，則

，，

因此，當時，；

（2）由題意，設的端點為，以所在直線為軸，以垂直平分線所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則，，

則點的集合由如下曲線圍成：

；；；

，

其面積為：；

（3）因為，，，，，，

所以；；

因為到兩條線段、距離相等的點的集合，根據兩條直的方程可知，兩條直線間的關系是平行，

所以得到兩條線段距離相等的點是軸非負半軸，拋物線，直線，如圖所示：