Question

【題目】已知函數.其中表示的導函數在的取值．

(1)求的值及函數的單調區間；

(2)若在的定義域內恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f’(0)=-1,的單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）當時，的最小值為.

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）問題轉化為ln（x+1）﹣ax﹣b≤0恒成立，設g（x）=ln（x+1）﹣ax﹣b，求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出g（x）的最大值，根據≥+1，令h（a）=﹣+1（a＞0），根據函數的單調性求出其最小值即可．

（1）由題意的定義域，

又

當時

，

解得，

又，

令，解得，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

（2）由題意：

，在上恒成立，

即恒成立.

設，

1°當時，函數為增函數，函數為減函數.

對任意，總存在，使，

且當時，.

即，不適合題意；

2°當時，為增函數，為常數函數.

對任意，總存在，使.

且當時，總有.

即，不適合題意.

3°當時，，

令解得，

故時，單調遞增.

時，單調遞減，

所以.

因此，

所以，

故，

令，

，令，得，

當時，單調遞減；

當時，單調遞增，

，

所以，當時，的最小值為.