Question

【題目】已知A，B為橢圓上的兩個動點，滿足．

（1）求證：原點O到直線AB的距離為定值；

（2）求的最大值；

（3）求過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）當直線AB的斜率不存在時，將代入橢圓方程可得，即可得原點O到直線AB的距離為；當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，，，與橢圓方程聯立，可得，又，則，利用韋達定理代入化簡可得，則原點O到直線AB的距離，故原點O到直線AB的距離為定值；

（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；

（3）如圖所示，過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡滿足：，，可得P，A，B三點共線. 由（1）可知：原點O到直線AB的距離為定值，即可得點的軌跡方程.

（1）證明：當直線AB的斜率不存在時，由代入橢圓方程可得：，解得，此時原點O到直線AB的距離為．

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，，．

聯立，化為，

，則，，

．

，

化為，

化為，

化為，

原點O到直線AB的距離．

綜上可得：原點O到直線AB的距離為定值．

（2）解：由（1）可得，

，

，

又，

當且僅當時取等號．

的最大值為．

（3）解：如圖所示，過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡滿足：，．

因此P，A，B三點共線．

由（1）可知：原點O到直線AB的距離為定值．

分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程為．