Question

【題目】如圖1，是等腰直角三角形，，D，E分別是AC，AB上的點，,將沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐，使得．

圖1 圖2

（1）證明：平面平面BCD；

（2）求與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）取BC中點O，連接OD，OE，因為，O為BC中點,根據題意即可求出，，由即可得到，即可說明平面BCD,則可證明平面平面BCD.

（2）以O點為原點，建立空間直角坐標系O-xyz. 則可寫出，，，的坐標，即可求出平面的法向量,利用公式，即可求出答案.

（1）如圖所示：

取BC中點O，連接OD，OE，因為，O為BC中點,

所以

則,．

在中，，．

在中，，所以．

∵，∴平面BCD．

又平面，所以平面平面BCD．

（2）如圖所示：

以O點為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，

則，，，，

所以，，

設為平面的法向量，則

，即，令，得．

又，

所以．

即與平面所成角的正弦值為．

所以與平面所成角的余弦值為