Question

【題目】直角坐標系xoy中，橢圓的離心率為，過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點P(2,1)，直線與橢圓C相交于A,B兩點，且線段AB被直線OP平分.

①求直線的斜率；②若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) ①直線的斜率為除以外的任意實數.

②.

【解析】分析：（1）由離心率條件得，然后將點.代入原式得到第二個方程，聯立求解即可；（2）①先得出OP的方程，然后根據點差法研究即可；②先表示出，然后聯立直線和橢圓根據韋達定理代入等式求解即可.

詳解：

（1）由可得，

設橢圓方程為，代入點，得，

故橢圓方程為：.

（2）①由條件知，

設，則滿足，，

兩式作差得：，

化簡得，

因為被平分，故，

當即直線不過原點時，，所以；

當即直線過原點時，，為任意實數,但時與重合；

綜上即直線的斜率為除以外的任意實數.

②當時，，故 ，

得，聯立，得，舍去；

當時，設直線為，代入橢圓方程可得，（＃）

所以，，

，

，

故

解得，此時方程（＃）中，

故所求直線方程為.